1289. 下降路径最小和 II

难度: 困难

来源: 每日一题 2023.08.10

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给你一个 n x n 整数矩阵 grid ，请你返回 非零偏移下降路径 数字和的最小值。

非零偏移下降路径 定义为：从 grid 数组中的每一行选择一个数字，且按顺序选出来的数字中，相邻数字不在原数组的同一列。

示例 1：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
输出：13
解释：
所有非零偏移下降路径包括：
[1,5,9], [1,5,7], [1,6,7], [1,6,8],
[2,4,8], [2,4,9], [2,6,7], [2,6,8],
[3,4,8], [3,4,9], [3,5,7], [3,5,9]
下降路径中数字和最小的是 [1,5,7] ，所以答案是 13 。

示例 2：

输入：grid = [[7]]
输出：7

提示：

• n == grid.length == grid[i].length
• 1 <= n <= 200
• -99 <= grid[i][j] <= 99

class Solution {
    public int minFallingPathSum(int[][] grid) {

    }
}

分析与题解

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• 动态规划 + 模拟法

  这个题目和先前的 931. 下降路径最小和 非常类似, 不过 931. 下降路径最小和 是上一层左右两个元素, 如下图所示.

  

  但是这个题目是只要不是当前列的元素即可, 也就是选择项会变为 m - 1 项. 如下图所示.

  

  但是整体的思路没有发生改变, 状态转移方程可为如下所示.

  dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][0], .... ,dp[i-1][lenght - 1]); + grid[i][j];
  

  在 i = 0 时, 我们需要初始化dp的值, 如下所示.

  dp[i][j] = grid[i][j];
  

  在最后一行时, 我们需要比较大小,得出最小路径的值.

  if (i == grid.length - 1) {
      // 最后一组比较大小
      minSum = Math.min(minSum, dp[i][j]);
  } 
  

  整体逻辑代码如下所示.

  class Solution {
      public int minFallingPathSum(int[][] grid) {
          // 二维数组,因为我们需知道前一行的最小值情况
          int[][] dp =  new int[grid.length][grid[0].length];
          int minSum = Integer.MAX_VALUE;
          for(int i = 0; i < grid.length; i++) {
              for(int j = 0; j < grid[i].length; j++) {
                  if (i == 0) {
                      // 初始化dp
                      dp[i][j] = grid[i][j];
                  } else {
                      // 判断前一行最小值
                      int lastMin = Integer.MAX_VALUE;
                      for(int z = 0; z < grid[i - 1].length; z++) {
                          if (z != j) {
                              lastMin = Math.min(lastMin, dp[i-1][z]);
                          }
                      }
                      dp[i][j] = lastMin + grid[i][j];
                  }
                  if (i == grid.length - 1) {
                      // 最后一组比较大小
                      minSum = Math.min(minSum, dp[i][j]);
                  } 
              }
          }
          return minSum;
      }
  }
  

  复杂度分析:

  • 时间复杂度: O(n^3), 三次遍历循环嵌套, 时间复杂度与数组长度相关.
  • 空间复杂度: O(mn), 需要创建与矩阵相同的空间.

  结果如下所示.