198. 打家劫舍

难度: 中等

来源: 每日一题 2023.08.18 延展

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你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 2：

输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
     偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

提示：

• 1 <= nums.length <= 100
• 0 <= nums[i] <= 400

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {

    }
}

分析与题解

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• 动态规划

  这个题目是典型的动态规划问题, 我们需要考虑的条件是小偷不通同时进入两个相邻的房间, 所以如果想要在 下标i 点偷的钱最多, 那么就需要有以下两种情况.

  • 情况1: 当前房屋不偷, 但是前一个房屋偷

  • 情况2: 前一个房屋不偷, 但是当前房屋偷.

  那么就会有如下的状态转移方程.

  dp[i] = Math.max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i -1]);
  

  对于初始状态, 我们需要设定 i = 0 和 i = 1 两种情况.

  dp[0] = nums[0];
  dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
  

  当然了, 我们还需要判断只有一个元素的边界条件.

  if (nums.length == 1) {
      return nums[0];
  }
  

  整体的解题思路如下所示.

  class Solution {
      public int rob(int[] nums) {
          if (nums.length == 1) {
              return nums[0];
          }
          // 只有两种初始情况
          int[] dp = new int[nums.length];
          dp[0] = nums[0];
          dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
          for(int i = 2; i < nums.length; i++) {
              dp[i] = Math.max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i -1]);
          }
          return dp[nums.length - 1];
      }
  }
  

  
  

  复杂度分析:

  • 时间复杂度: O(n), 时间复杂度与nums长度相关.
  • 空间复杂度: O(n), dp 长度与 nums 长度成线性比例关系.

  结果如下所示.

  

• 动态规划(优化)

  上面我们使用了动态规划, 但是实际上我们只需要关注 dp[i-1] 和 dp[i-2] 两个值即可, 所以我们可以利用常量来解决这个问题, 而并不需要使用 dp数组.

  class Solution {
      public int rob(int[] nums) {
          if (nums.length == 1) {
              return nums[0];
          }
          int firstMax = nums[0];
          int secondMax = Math.max(firstMax, nums[1]);
          int result = secondMax;
          int temp = secondMax;
          for(int i = 2; i < nums.length; i++) {
              result = Math.max(result, Math.max(firstMax + nums[i], secondMax));
              temp = secondMax;
              secondMax = Math.max(firstMax + nums[i], secondMax);
              firstMax = temp;
          }
          return result;
      }
  }
  

  
  

  复杂度分析:

  • 时间复杂度: O(n), 时间复杂度与nums长度相关.
  • 空间复杂度: O(1), 常量级别的空间复杂度.

  结果如下所示.